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et ces équations ayant lieu pour une fonction quelconque $z$ de $x$ et $y,$ on y peut substituer successivement $z',z_{_{'}},z'',$ etc., au lieu de $z.$ En mettant $z'$ à la place de $z$ dans la première équation (1), il vient

$dz''-z'''\delta x-z''_{_{'}}\delta y={\frac {d(\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y)}{dy}}\,;$

mais en différentiant la même équation par rapport à $x,$ on a

${\frac {d(\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y)}{dx}}={\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}\,;$

on aura donc

$\delta z''-z'''\delta x-z''_{_{'}}\delta y=\omega ''.$

La substitution de $z_{_{'}}$ au lieu de $z$ dans la seconde équation (1) donnera de même

$\delta z_{_{''}}-z'_{_{''}}\delta x-z_{_{'''}}\delta y=\omega _{_{''}}.$

Si l’on met $z'$ à la place de $z$ dans cette seconde équation (1), on a

$\delta z'_{_{'}}-z''_{_{'}}\delta x-z'_{_{''}}\delta y={\frac {d(\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y)}{dy}}.$

La différentiation de la première équation (1), relativement à $y,$ donne

${\frac {d(\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y)}{dy}}={\frac {d^{2}\omega }{dx\,dy}}\,;$

par conséquent on aura

$\delta z'_{_{'}}-z''_{_{'}}\delta x-z'_{_{''}}\delta y=\omega '_{_{'}}.$

Il est facile de voir qu’en continuant ainsi, on aura, quels que soient les indices $m$ et $n,$