![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{\zeta }}\left({\frac {dz}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dz}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right)\\z_{_{'}}=&{\frac {1}{\zeta }}\left({\frac {dz}{dv}}{\frac {dx}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dx}{dv}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d60064a41f2b9a0e3da18800bed5ccee1c08bd)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \zeta ={\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d71998f717ecf20eeb2cdbcae5a86b4b671dd5c)
Maintenant, si l’on représente par
trois fonctions arbitraires et infiniment petites de
et
on pourra supposer, sans faire varier
et
que
deviennent simultanément
Or, si l’on différentie, par rapport à la caractéristique
la valeur précédente de
et que l’on ait égard à cette valeur et à celle de
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta z'&={\frac {1}{\zeta }}\left({\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta z}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta z}{dv}}\right)\\&-{\frac {z'}{\zeta }}\left({\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta x}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{dv}}\right)\\&-{\frac {z_{_{'}}}{\zeta }}\left({\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta y}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta y}{dv}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a56e9e16be01f909f52386ae28c58e48284c13)
Mais on peut aussi considérer
et
et par conséquent,
comme des fonctions de
et
alors on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\delta x}{du}}=&{\frac {d\delta x}{dx}}{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\delta x}{dy}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {d\delta x}{dv}}=&{\frac {d\delta x}{dx}}{\frac {dx}{dv}}+{\frac {d\delta x}{dy}}{\frac {dy}{dv}},\\{\frac {d\delta y}{du}}=&{\frac {d\delta y}{dx}}{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\delta y}{dy}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {d\delta y}{dv}}=&{\frac {d\delta y}{dx}}{\frac {dx}{dv}}+{\frac {d\delta y}{dy}}{\frac {dy}{dv}},\\{\frac {d\delta z}{du}}=&{\frac {d\delta z}{dx}}{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\delta z}{dy}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {d\delta z}{dv}}=&{\frac {d\delta z}{dx}}{\frac {dx}{dv}}+{\frac {d\delta z}{dy}}{\frac {dy}{dv}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f411f0dceb3101a266b7c5f1d95377ead69ae97c)