l’élimination de
et
entre les valeurs de
et
jointes à ces équations
et
par conséquent, ces courbes s’écarteront aussi infiniment peu et d’une manière tout-à-fait arbitraire, des limites primitives qui étaient fixées par les équations
et
Par la seule variation de
et sans que les limites relatives à
et
aient changé, la zone de surface à laquelle répond l’intégrale double que l’on considère, aura donc varié arbitrairement dans sa forme et dans son contour.
(19) Soient actuellement
une fonction de
et
et
une fonction donnée de
etc. Désignons la différentielle complète de
par
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {V} =\mathrm {L} dx+\mathrm {M} dy+&\mathrm {N} dz+\mathrm {P} dz'+\mathrm {Q} dz,\\&+\mathrm {R} dz''+\mathrm {S} dz'_{_{'}}+\mathrm {T} dz_{_{''}}+{\text{etc}}.,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6492b7224da215144cf240823a0573daa15b4e)
de sorte que
etc., soient les différences partielles de
par rapport à
etc. Sa variation complète
se déduira de
en y remplaçant
par
et si l’on regarde
comme des fonctions de
et
arbitraires et indépendantes entre elles, il s’agira de former les expressions correspondantes de
etc.
Pour cela, je considère
et
et par suite
comme des fonctions implicites de deux autres variables indépendantes
et
En differentiant
par rapport à
et
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{du}}=&z'{\frac {dx}{du}}+z_{_{'}}{\frac {dy}{du}},\\{\frac {dz}{dv}}=&z'{\frac {dx}{dv}}+z_{_{'}}{\frac {dy}{dv}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64176a2124961ff34a043b30abc951218f80a2e)
d’où l’on tire