les autres quantités
etc., qui entrent dans l’équation (4), seront nulles ; et cette équation se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {P} }{d\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5911f834364a043054838dbac0191db64aca4da)
On aura donc
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {N} dr+\mathrm {P} dr'={\frac {d\mathrm {P} }{d\theta }}r'd\theta +\mathrm {P} dr'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a27d11af9f7e12abbfa3d68e534fdde788a1475)
et en intégrant et désignant par
la constante arbitraire, il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {P} r'+c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dfb4c15d6ca3b8227395e47928e9bb2133895c)
Je substitue dans cette équation, les valeurs de
et
puis je la résous par rapport à
il vient
![{\displaystyle d\theta ={\frac {\left(r^{2}-2c\right)dr}{r{\sqrt {4a^{2}r^{2}-\left(r^{2}-2c\right)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfdc8deb23c8b3aa1fbe0aa4f7471ca71da0b4d)
formule qui s’intègre par les règles connues.
Si l’on égale à zéro la quantité comprise sous le radical, on aura
![{\displaystyle r^{4}-4\left(a^{2}+c\right)r^{2}+4c^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baf30e58a9f4c911f99ad4b3ce29be69920ad2d)
les deux racines de cette équation seront le maximum et le minimum de
qui doivent être réels et positifs, puisqu’il s’agit d’une courbe fermée ; je désigne par
et
les valeurs correspondantes de
il en résulte
![{\displaystyle 4\left(a^{2}+c\right)=h^{2}+k^{2},\qquad 4c^{2}=h^{2}k^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43b6f3e4dcab4210fc24dbe90a62e638fc30f59)
et l’expression de
devient
![{\displaystyle d\theta ={\frac {\left(r^{2}+hk\right)dr}{r{\sqrt {\left(h^{2}-r^{2}\right)\left(r^{2}-k^{2}\right)}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c11ab6d0567a7466037de0936746228e49f4aff)