En effet, prenons pour exemple le cas de trois intégrales
![{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx,\qquad \int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {T} dx,\qquad \int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {W} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233a19da9d71033f6fcde564d918d0ab6232fcdf)
dont la première doit être un maximum ou un minimum, tandis que les deux autres auront des valeurs données, et où
sont des fonctions données de
etc. Après avoir remplacé les coefficients différentiels
etc., par les différences première, seconde, etc., des valeurs consécutives de
divisées par
etc., supposons qu’on fasse varier arbitrairement trois des valeurs de
et désignons par
leurs accroissements. Nous pourrons représenter par
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\omega +&p_{1}\theta +p_{2}\psi ,\\q\omega +&q_{1}\theta +q_{2}\psi ,\\r\omega +&r_{1}\theta +r_{2}\psi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ca7c4d6c276be62779c63b56aab72d68cd681a)
les variations correspondantes des trois intégrales ; les neuf coefficients
etc., étant de certaines fonctions des valeurs de
qui ont varié et des valeurs correspondantes de
Mais si l’on a fait varier trois valeurs consécutives de
c’est-à-dire, trois valeurs correspondantes à
et que
appartienne à la première,
à la seconde, et
à la troisième, il est évident que
devront se déduire de
et
de
par la substitution de
à
en sorte que nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p_{1}=&p+dp,\qquad &p_{2}=&p_{1}+dp_{1}&&=p+2dp+d^{2}p,\\q_{1}=&q+dq,\qquad &q_{2}=&q_{1}+dq_{1}&&=q+2dq+d^{2}q,\\r_{1}=&r+dr,\qquad &r_{2}=&r_{1}+dr_{1}&&=r+2dr+d^{2}r.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad915b3e780fa4c47593fb3213a45faa5d3d10a)
Il résulte de là que les trois équations qu’on obtiendra en