Ce procédé du facteur d’élimination a été employé par Lagrange dans la 22 leçon sur le calcul des fonctions, d’une manière moins directe, mais qui rentre dans la méthode du no 9, et que nous allons indiquer en peu de mots.
Soient
et
deux fonctions données de
etc.; à l’inconnue
joignons-en une autre
liée à
par l’équation
![{\displaystyle z'+\mathrm {T} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918468e4316fb0ac39627a279320534d83caadc8)
et cherchons le maximum et le minimum de
Pour appliquer à ce problème les formules du no 9, il faudra prendre
![{\displaystyle \mathrm {L} =z'+\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db32bf8e905a29a02992fa2e988722378b74248a)
On aura alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mu =&0,\qquad &\nu =&1,\qquad &\varpi =&0,{\text{ etc}}.,\\\alpha =&{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},&\beta =&{\frac {d\mathrm {T} }{dy'}},&\gamma =&{\frac {d\mathrm {T} }{dy''}},{\text{ etc}}.,\\n=&0,&p=&0,&q=&0,{\text{ etc}}.,\\\mathrm {N} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dy}},&\mathrm {P} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dy'}},&\mathrm {Q} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dy''}},{\text{ etc}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193b84430adbb65b0a91d4406045b3fc51a535fa)
La seconde équation (9) se réduira à
par conséquent, le facteur
sera une quantité constante ; et en la représentant par
la première équation (9) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {N} +a\alpha -{\frac {d(\mathrm {P} +a\beta )}{dx}}+{\frac {d^{2}(\mathrm {Q} +a\gamma )}{dx^{2}}}-{\text{etc}}.=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1b0277f6adbce41fb996e289e5e4ecc94158d1)
ce qui est évidemment l’équation du maximum ou du minimum absolu de
Comme l’inconnue
est don-