Les variations de ces sommes, provenant des accroissements arbitraires de
et
et des variations
et
des deux limites, seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\delta v\ =&\delta \mathrm {V} _{0}dx&&+\delta \mathrm {V} _{1}dx&&+\delta \mathrm {V} _{2}dx+\ldots &&+\delta \mathrm {V} _{i}dx\\&&&&&&&+\mathrm {V} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {V} _{0}\delta x_{0},\\\delta t\ =&\delta \mathrm {T} _{0}dx&&+\delta \mathrm {T} _{1}dx&&+\delta \mathrm {T} _{2}dx+\ldots &&+\delta \mathrm {T} _{i}dx\\&&&&&&&+\mathrm {T} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {T} _{0}\delta x_{0},\\\delta w=&\delta \mathrm {W} _{0}dx&&+\delta \mathrm {W} _{1}dx&&+\delta \mathrm {W} _{2}dx+\ldots &&+\delta \mathrm {W} _{i}dx\\&&&&&&&+\mathrm {W} _{1}\delta x_{1}-\mathrm {W} _{0}\delta x_{0},\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bd713351ad9b98af6f58ef47068ce546da913f)
S’il s’agit du maximum ou du minimum absolu de
il faudra qu’on ait
de plus, les valeurs intermédiaires de
étant tout à fait indépendantes entre elles, il faudra que le coefficient de l’une quelconque de leurs variations dans cette équation
soit séparément égal à zéro ; il en sera de même à l’égard de
en supposant les deux inconnues
et
indépendantes l’une de l’autre ; et, de cette manière, on déduira de
les deux équations différentielles qui serviront à déterminer
et
en fonctions de
et d’un certain nombre de constantes arbitraires. La considération particulière des éléments extrêmes de
fournira ensuite comme on l’a vu précédemment (no 4), les équations d’où dépendront les valeurs de ces constantes et des limites
et
Mais si l’on demande que
soit un maximum ou un minimum, et qu’en mème temps
etc., aient des valeurs données
etc., il faudra qu’on ait simultanément
![{\displaystyle \delta v=0,\qquad \delta t=0,\qquad \delta w=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573d4fb028637fc7ecddb1004a68ce640b6bc2ba)
etc.
Les variations de toutes les valeurs intermédiaires de
et