et, par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dydz}}-{\frac {d^{2}f_{2}}{dydx}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9830552b2002044fe56928dd18d6ed3d7f7ae88a)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle {\frac {df}{dz}}-{\frac {df_{2}}{dx}}=\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229ed58f301e895ed8b582a52063e3649bf3bf3c)
en désignant par
une quantité indépendante de
Il s’ensuit donc que si la différence
est nulle pour une valeur particulière de
elle le sera pour toute autre valeur ; en sorte que l’équation
étant identique, il suffit que l’équation
ou
se vérifie seulement pour
conclusion qui s’accorde avec celle du numéro précédent.
L’équation (12) devient, dans le cas que nous examinons,
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[f_{1}(x,yu,z)-f_{1}(x,yu,0)\right]ydu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b4f1302ce584eadf303fe48b40ff9fb7e636ef)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\left[f_{2}(x,yu,zu)-f_{2}(x,0,zu)\right]zdu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45d447dce4bfb2e0f3f761038d326a6aa58b83e)
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle \int _{0}^{y}\left[f_{1}(x,y,z)-f_{1}(x,y,0)\right]dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0fc0411a4b83283330e16ce4b5c4fbc1e92e02)
![{\displaystyle =\int _{0}^{z}\left[f_{2}(x,y,z)-f_{2}(x,0,z)\right]dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8e4014852a9decc161a3b2f93b867c11341238)
Je la différentie par rapport à
et en remplaçant sous le signe
du second membre, par
par
ce qui est permis, puisque ces deux quantités sont égales par hypothèse, il vient
![{\displaystyle f_{1}(x,y,z)-f_{1}(x,y,0)=\int _{0}^{z}{\frac {df_{1}(x,y,z)}{dz}}dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0685d23d27277d0d0481b0c4f1e8ebd5917a09a9)