différentiels de
et
les plus élevés qui se trouvent dans
Dans le cas de la fonction différentielle du premier ordre, on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {V} =f(x,y,z)+y'f_{1}(x,y,z)+z'f_{2}(x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b757c809cf044f5bad85f871a7fa1189cc8bdcb1)
où l’on désigne par
des fonctions données. On en déduit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {N} =&{\frac {df}{dy}}+y'{\frac {df_{1}}{dy}}+z'{\frac {df_{2}}{dy}},\qquad &\mathrm {P} =&f_{1}(x,y,z),\qquad &\mathrm {Q} =&0,{\text{etc}}.,\\n=&{\frac {df}{dy}}+y'{\frac {df_{1}}{dy}}+z'{\frac {df_{2}}{dy}},&p=&f_{2}(x,y,z),&q=&0,{\text{etc}}.,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe995162cba83241f5d841cc57ca0f25e969582)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\mathrm {H} =&{\frac {df}{dy}}&&+y'{\frac {df_{1}}{dy}}&&+z'{\frac {df_{2}}{dy}}&&-{\frac {ddf_{1}}{dx}}&&-y'{\frac {ddf_{1}}{dy}}&&-z'{\frac {ddf_{1}}{dz}},\\\mathrm {K} =&{\frac {df}{dz}}&&+y'{\frac {df_{1}}{dz}}&&+z'{\frac {df_{2}}{dz}}&&-{\frac {ddf_{2}}{dx}}&&-y'{\frac {ddf_{2}}{dy}}&&-z'{\frac {ddf_{2}}{dz}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a0c419b3bc83d55deeb76bc3546e77e58819c7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Phi (x,y,y',z,z')=&f_{1}(x,y,z),\qquad &\Psi (x,y,y',z,z')=&0,{\text{ etc}}.\\\varphi (x,y,y',z,z')=&f_{2}(x,y,z),&\psi (x,y,y',z,z')=&0,{\text{ etc}}.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5419ddd3e50d0281347d0a83b16ebaf734615536)
L’équation
devant être identique, elle se décompose en deux autres, savoir :
![{\displaystyle {\frac {df}{dy}}={\frac {df_{1}}{dx}},\qquad {\frac {df_{2}}{dy}}={\frac {df_{1}}{dz}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4860f5738362bee0bf5555c4d9c016a2d476c2)
et l’équation
se réduit à
![{\displaystyle {\frac {df}{dz}}={\frac {df_{2}}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e75e5ee68882a5e739eec37ef2e33f8fbbac7d)
Mais les deux équations provenant de
donnent
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dydz}}={\frac {d^{2}f_{1}}{dxdz}},\qquad {\frac {d^{2}f_{2}}{dydx}}={\frac {d^{2}f_{1}}{dzdx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e34b13c6d09e2f5d24eb3d1d5ca77bef000121)