![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}&\left[\Phi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\Phi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)\right]ydu\\+&\int _{0}^{1}[\Psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\Psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)]y'du\\&\qquad +{\text{etc}}.=\\\int _{0}^{1}&\left[\varphi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\varphi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)\right]ydu\\+&\int _{0}^{1}[\psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)-\psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,0,0,{\text{etc}}.)]y'du\\&\qquad +{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b53dbb88077dacbe3c6ec1f742e3d171188fa92)
(12)
2o D’après la manière dont on a formé l’équation (11), il suffit pour qu’elle ait lieu, que l’équation
soit identique et que
subsiste seulement pour une valeur particulière de
telle que
mais d’un autre côté, pour l’intégrabilité de
il est nécessaire que les deux quantités
et
soient identiquement nulles ; il en faut donc conclure que si l’une des deux équations
et
la première, par exemple, est identique, et que l’autre ait lieu pour
cette seconde équation aura également lieu pour toutes les valeurs de
et sera identique comme la première.
Nous allons vérifier sur un exemple, ces deux propositions qui n’étaient pas encore connues, et qu’il serait facile d’étendre à des fonctions différentielles de quatre ou d’un plus grand nombre de variables.
(12) D’après la forme des quantités
et
(nº 7), il est d’abord aisé de s’assurer qu’elles ne peuvent être identiquement nulles à moins que
ne soit une fonction linéaire par rapport à
et
et
étant les indices des coefficients