tion
est nécessaire, mais qu’elle est suffisante pour l’intégrabilité de
Voici une autre manière de démontrer cette seconde partie de la proposition, qui me paraît plus simple, et qui a, en outre, l’avantage de conduire à une expression sous forme finie, de l’intégrale de
lorsque la condition
est remplie.
Soit
une fonction de
arbitraire et infiniment petite ; désignons par
un nombre entier et positif, ou zéro ; mettons
etc., à la place de
etc., dans
en sorte qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {V} =\operatorname {F} (x,n\omega ,n\omega ',n\omega '',{\text{etc}}.)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd0e37609dd480c60cd04bdeeaefcedd70ec563)
prenons ensuite l’intégrale de
depuis une constante
jusqu’à la valeur variable de
et faisons
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{(n)}=\int _{c}^{x}\operatorname {F} (x,n\omega ,n\omega ',n\omega '',{\text{etc}}.)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b344951afb6b56e56a20c7e7be6b9024b91960)
L’équation
étant identique par hypothèse, elle subsistera quel que soit
quand on y fera
etc. Soit de plus
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathrm {P} -&\mathrm {Q} '&&+\mathrm {R} ''&&-{\text{etc}}.&&=\Phi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.),\\&\,\mathrm {Q} &&-\mathrm {R} '&&+{\text{etc}}.&&=\Psi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.),\\&&&\ \quad \mathrm {R} &&-{\text{etc}}.&&=\Pi (x,n\omega ,n\omega ',{\text{etc}}.),\\&&&&&\;\quad {\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f2072af6fe224749096c2c5a69d6bb107b9f0b)
etc., désignant les mêmes quantités que dans le no 2. La difference
sera la variation donnée par la formule (3), dans laquelle on fera
parce que les limites
et
sont les mêmes pour
et pour
et où l’on mettra
etc., à la place de
etc. À