réduira ensuite, par le procédé de l’intégration par partie,
\delta\mathrm U
à la forme
![{\displaystyle \mathrm {C} +\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {X} \omega dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad5945e772c670807d44b7ead3b3fc6983af3c8)
étant une constante et
une quantité indépendante de
les équations différentielles d’où dépendront les valeurs de
relatives au maximum ou au minimum de
seront alors
et
Mais on peut éviter l’intégration de l’équation (8), qui ne serait possible que dans des cas très-particuliers, et parvenir, d’une autre manière, à trois équations différentielles entre
et
et une inconnue auxiliaire.
En effet, en ayant égard à l’équation
et aux expressions de
et
la valeur de
du no 7 deviendra
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega ''+{\text{etc}}.+n\varphi +p\varphi '+q\varphi ''+{\text{etc}}.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c92a8bdc05ecdd7828593dc347fd45ab1413010)
et sans altérer cette valeur, on y peut ajouter le premier membre de l’équation (8), multiplié par un facteur quelconque à ; ce qui donne
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =(\mathrm {N} +\lambda \alpha )\omega +(\mathrm {P} +\lambda \beta )\omega '+(\mathrm {Q} +\lambda \gamma )\omega ''+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7473f5609f9b4ebcbacb71c96ed869678c8c4f)
![{\displaystyle +(n+\lambda \mu )\varphi +(p+\lambda \nu )\varphi '+(q+\lambda \varpi )\varphi ''+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0eb19b88466f7c032f45f1f3c3485416e14c26)
Cela étant, l’expression de
se réduira à la forme
![{\displaystyle \delta \mathrm {U} =\Delta +\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {E} \omega +\mathrm {F} \varphi )dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76e25b7aac20565906f04222ff57c0b1f2a586c)
étant des quantités qui se déduiront de
par le changement de
en
Or, l’introduction du facteur indéterminé
permettra de