supprimant donc et substituant cette valeur de
dans l’équation
commune au maximum et au minimum, on aura simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} _{\text{ı}}dx_{\text{ı}}\ \ &+\mathrm {(P_{\text{ı}}\,-Q'_{\text{ı}}\,+etc.)\varepsilon _{\text{ı}}\,+(Q_{\text{ı}}\,-etc.)\varepsilon '_{\text{ı}}\,+etc.} \\-\mathrm {V} _{0}dx_{0}&-\mathrm {(P_{0}-Q'_{0}+etc.)\varepsilon _{0}-(Q_{0}-etc.)\varepsilon '_{0}-etc.} =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8626cd47d76902c9c9da1d324297e88b3ff42d)
Observons, enfin, que si l’on représente par
etc., les différentielles complètes de
etc., par rapport à
et aux quantités
etc., on aura
![{\displaystyle dy=y'dx+\varepsilon ,\qquad dy'=y''dx+\varepsilon ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac047c78be60bd89ae77597fe32b0d58e553b98)
etc.
Pour les valeurs particulières
et
nous aurons donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\varepsilon _{0}=&dy_{0}-y'_{0}dx_{0},\qquad &\varepsilon '_{0}=&dy'_{0}-y''_{0}dx_{0},{\text{etc}}.,\\\varepsilon _{\text{ı}}=&dy_{\text{ı}}\ -y'_{\text{ı}}dx_{\text{ı}},\qquad &\varepsilon '_{\text{ı}}=&dy'_{\text{ı}}\ -y''_{\text{ı}}dx_{\text{ı}},{\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd99eb81d5afd3f06519063125926af8584d691)
et si l’ou substitue ces valeurs dans l’équation précédente, elle prendra la même forme et devra être traitée de la même manière que l’équation
dont elle ne différera qu’en ce que les accroissements de
etc., sont représentés dans l’une par
etc., et dans l’autre par
etc.
(7) Les méthodes qu’on vient d’exposer s’étendront sans difficulté au cas où l’intégrale que l’on considère dépend de plusieurs inconnues. Soient
et
deux fonctions inconnues de la variable indépendante
et
une fonction donnée de
etc. Considérons, comme précédemment, l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c159a5abe718c28333f0b4932698427b5821bb08)