au moyen des valeurs données de
etc.,
etc.; et de là il résultera l’expression de y qu’il s’agissait d’abord d’obtenir.
En substituant cette expression et celles de
etc., dans
et prenant l’intégrale de
depuis
jusqu’à
on aura la valeur maxima ou minima de
par rapport à la forme de la fonction
en fonction de
etc.,
etc. On pourra maintenant chercher les valeurs de ces quantités qui rendent, de nouveau,
un maximum ou un minimum ; et si l’intégration de l’équation précédente, et celle de
ont pu s’effectuer, on résoudra par les règles ordinaires cette seconde partie du problème. Mais en vertu de l’équation précédente, les équations relatives à cette nouvelle question seront indépendantes des intégrations dont il s’agit.
En effet, les limites
et
devenant
et
l’intégrale
augmente de
et diminue de
si donc on différentie en outre sous le signe
par rapport à toutes les quantités
etc.,
etc., on aura
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {V} _{\text{ı}}dx_{\text{ı}}-\mathrm {V} _{0}dx_{0}+\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {E} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721b987b9c3a0deac67a17fe6460d23ca1732e32)
où l’on a fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{0}}}dx_{0}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{\text{ı}}}}dx_{\text{ı}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{0}}}dy_{0}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{\text{ı}}}}dy_{\text{ı}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d7be55aaf7f9d5b03af8c9dd34f9f6cc78d78a)
etc.
Mais si l’on suppose, pour plus de simplicité, que
ne renferme pas explicitement ces quantités
etc., et soit seulement une fonction donnée de
etc.,