(6) Le problème que nous venons de résoudre se décompose naturellement en deux autres que I’on peut considérer successivement.
En premier lieu, on peut regarder comme données les valeurs de
etc.,
etc., et chercher l’expression de
en fonction de
et de ces quantités, qui rend
un maximum ou un minimum. Pour cela, soit
une quantité infiniment petite, qui sera une fonction arbitraire de
si l’on suppose que
devienne
ses coefficients différentiels
etc., deviendront en même temps
etc. ; et à cause que les limites
et
ne varient pas, on aura
![{\displaystyle \delta \mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {N\omega +P\omega '+Q\omega ''} +{\text{etc}}.)dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a42b5ac684cb0874e59a3ebc420e9cbfd9b027)
etc., étant les mêmes que précédemment. Par l’intégration par partie, et en observant que
etc., doivent être zéro aux deux limites, puisque les valeurs extrêmes de
etc., sont supposées fixes, on transformera cette expression de
en celle-ci :
![{\displaystyle \delta \mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {N-P'+Q''} +{\text{etc}}.)\omega dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736ff0bd000a23a37a239b22cc7e71a96be89a53)
et pour qu’elle soit nulle dans le cas du maximum ou du minimum, il faudra qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {N-P'+Q''} -{\text{etc}}.=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fec9c39a7a77cf283f660d1d370c5d475ff889)
comme dans le numéro précédent. On déduira de cette équation, la valeur de
en fonction de
et d’un certain nombre de constantes arbitraires ; ces constantes se détermineront