et en dehors du signe
on pourra mettre au lieu de
leurs valeurs
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\omega _{0}=&\delta y_{0}-y'_{0}\delta x_{0},\qquad &\omega '_{0}=&\delta y'_{0}-y''_{0}\delta x_{0},{\text{etc.}},\\\omega _{1}=&\delta y_{1}-y'_{1}\delta x_{1},&\omega '_{1}=&\delta y'_{1}-y''_{1}\delta x_{1},{\text{etc.}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424ed7336a5a91dff605a9447a93e578e5b3fe29)
De cette manière, la variation de l’intégrale
se trouvera exprimée explicitement au moyen des variations de
et de
et de celles des valeurs extrêmes de
jusqu’au coefficient différentiel de l’ordre immédiatement inférieur au plus élevé qui soit compris dans ![{\displaystyle \mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220df887894e07aac76a143d9bb430374c41c0cc)
On peut remarquer que la variation de
se réduirait à
si les variations
et
avaient entre elles le même rapport que
et
c’est-à-dire, si l’on avait
pour toutes les valeurs de
ce qui rendrait nulles les quantités
Cela devait effectivement arriver ; car si
et
sont les coordonnées d’un point quelconque d’une courbe, et qu’on établisse entre leurs variations, le rapport qui a lieu entre leurs différentielles le long de cette courbe, elle ne changera pas, et l’intégrale ne fera qu’augmenter de
et diminuer de
à raison des variations
et
de ses limites.
Si les quantités
ou seulement quelques-unes, entraient dans la fonction donnée
il faudrait ajouter au terme
de la formule (3), une partie provenant de leurs variations, laquelle partie serait évidemment
![{\displaystyle \delta x_{0}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{0}}}dx+\delta y_{0}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{0}}}dx+{\text{etc.}}+\delta x_{1}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}dx+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d140d7fe5a52906d3d4a66349866e3e0250734d)