![{\displaystyle \delta y'={\frac {d.\delta y}{du}}:{\frac {dx}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{du}}:{\frac {dx^{2}}{du^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334f9564674ce56eb8d40505141167606e25014b)
Mais, par hypothèse, on a aussi
![{\displaystyle \delta y=y'\delta x+\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fee39f5578db6db123721251c1fa9df333ab0b)
en différentiant cette équation par rapport à
il vient
![{\displaystyle {\frac {d\delta y}{du}}={\frac {dy'}{du}}\delta x+{\frac {d\omega }{du}}+y'{\frac {d\delta x}{du}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf03937f481dfe93cdd5e30667cdfd08a7e8bbb)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle \delta y'={\frac {dy'}{du}}\delta x:{\frac {dx}{du}}+{\frac {d\omega }{du}}:{\frac {dx}{du}}+\left(y'{\frac {dx}{du}}-{\frac {dy}{du}}\right){\frac {d\delta x}{du}}:{\frac {dx^{2}}{du^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c815996b0a0be3a93027c6a8f98d4235f70ff0a3)
et à cause de
![{\displaystyle {\frac {dy'}{du}}:{\frac {dx}{du}}={\frac {dy'}{dx}}=y'',\qquad {\frac {d\omega }{du}}:{\frac {dx}{du}}=\omega ',\qquad y'={\frac {dx}{du}}={\frac {dy}{du}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13cfcf67cb7fba21d7902364ac29416fce45bfb1)
cette valeur de
se réduit à
![{\displaystyle \delta y'=y''\delta x+\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63e3c765dcc33fc52820500e3b609d64b1e9dcc)
En partant de cette formule et de l’équation
![{\displaystyle y''={\frac {dy'}{du}}:{\frac {dx}{du}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e65755038dd0a42386714d388bd68126c29c21e)
on trouvera de même
![{\displaystyle \delta y''=y'''\delta x+\omega ''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013efb9573ee8a0cff88cdc8c0b3688b924c7158)
et, en continuant ainsi, l’équation (2) se trouvera démontrée pour un indice quelconque ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Оn pourra, daus la formule (3), remplacer
sous le signe
par sa valeur
![{\displaystyle \omega =\delta y-y'\delta x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd42520d5963e1ac790d95da0b03cfe583b0521b)