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et $y+\delta y$ à la place de $x$ et $y$ sous le signe $\int \,;$ nous en conclurons

$\delta \mathrm {U} =\int _{u_{0}}^{u_{1}}\delta \mathrm {V} {\frac {dx}{du}}du+\int _{u_{0}}^{u_{1}}\mathrm {V} {\frac {d\delta x}{du}}du.\qquad$(1)

La nouvelle valeur de $y$ en fonction de $x,$ résultera de l’élimination de $u$ entre les valeurs de $x+\delta x$ et $y+\delta y\,;$ en même temps, les nouvelles limites par rapport à $x$ de l’intégrale $\mathrm {U}$ seront $x_{0}+\delta x_{0}$ et $x_{1}+\delta x_{1}\,;$ elles auront donc éprouvé les variations arbitraires $\delta x_{0}$ et $\delta x_{1}\,;$ par conséquent, quoiqu’on n’ait pas fait varier les limites $u_{0}$ et $u_{1},$ la formule précédente sera la variation complète de $\mathrm {U} ,$ soit par rapport à la forme de la fonction $y,$ soit relativement aux limites de l’intégration.

Maintenant, faisons, pour abréger,

${\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=\mathrm {M} ,\qquad {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}=\mathrm {N} ,\qquad {\frac {d\mathrm {V} }{dy'}}=\mathrm {P} ,\qquad {\frac {d\mathrm {V} }{dy''}}=\mathrm {Q} ,{\text{ etc.}}\,;$

nous aurons

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {M} \delta x+\mathrm {N} \delta y+\mathrm {P} \delta y'+\mathrm {Q} \delta y''+{\text{etc.}}$

Soit, en outre,

$\delta y=y'\delta x+\omega .$

On démontrera, tout à l’heure, qu’il s’ensuivra

$\delta y'=y''\delta x+\omega ',\qquad \delta y''=y'''\delta x+\omega '',{\text{etc.}},$

et généralement,

$\delta y^{(n)}=y^{(n+1)}\delta x+\omega ^{(n)}.\qquad$(2)