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En admettant la notation employée dans ce Mémoire, $k_{1}\,k_{2}\,k_{3}\ldots k_{i},$ seront les bases consécutives des nivellements partiels, $\mathrm {R}$ désignera le rayon de la terre, $n$ le coefficient de la réfraction, et $\delta \mathrm {X}$ l’erreur moyenne de la différence de niveau $\mathrm {X}$ déterminée par le procédé connu. Cela posé, on aura, d’après la deuxième règle du § I,

$\delta \mathrm {X} ={\sqrt {\left({\frac {k_{1}^{2}}{2\mathrm {R} }}\delta n_{1}\right)^{2}+\left({\frac {k_{2}^{2}}{2\mathrm {R} }}\delta n_{2}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {k_{i}^{2}}{2\mathrm {R} }}\delta n_{i}\right)^{2}}}$

en représentant d’ailleurs par $\delta n_{1},\delta n_{2},\ldots \delta n_{i}$ les erreurs moyennes de la réfraction.

En effet, tous les nivellements partiels sont indépendants les uns des autres, et chacun d’eux procure une valeur de $n$ relative à l’état actuel de l’atmosphère. Cette valeur unique, pour chaque double station, étant le résultat de plusieurs distances zénitales réciproques, mais par supposition non simultanées, la variation on exprime en général le changement qui s’est opéré dans la réfraction en passant d’une station à l’autre, avec laquelle on la compare. Si pendant toute la durée des opérations la densité de l’air et sa température étaient restées constantes, il est clair que la valeur moyenne de $n$ entre toutes les valeurs particulières $n_{1}\,n_{2}\ldots n_{i}$ serait celle correspondante à cette densité et cette température ; et dans ce cas $n_{1}-n=dn_{1},$ $n_{2}-n=dn_{2},\ldots$ seraient les valeurs moyennes qu’il conviendrait d’adopter pour $\delta n_{1}\,\delta n_{2}\ldots$ Si de plus ces erreurs individuelles étaient nombreuses, on pourrait remplacer les carrés de chacune d’elles par la somme $q$ de leurs carrés divisée par leur nombre $i\,;$ ainsi on aurait, dans cette hypothèse,

$\delta \mathrm {X} =\pm {\sqrt {\left[\left({\frac {k_{1}^{2}}{2\mathrm {R} }}\right)^{2}+\left({\frac {k_{2}^{2}}{2\mathrm {R} }}\right)^{2}+\ldots \right]{\frac {q}{i}}}},$