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Théorie des réfractions astronomiques. Par exemple on y prendra immédiatement la valeur de l’intégrale $\int _{t}^{\infty }dt.e^{-t^{2}}\,;$ mais comme celle $\int _{0}^{\infty }dt.e^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$ il est clair qu’on aura

$\int _{0}^{t}dt.e^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-\int _{t}^{\infty }dt.e^{-t^{2}},$

et ensuite

$p={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dt.e^{-t^{2}}=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{t}^{\infty }dt.e^{-t^{2}}.$

Pour plus de clarté, faisons $t=3\,;$ la table citée, qui a pour argument cette limite, donnera

$\int _{t}^{\infty }dt.e^{-t^{2}}=0{,}000019577\,;$

ainsi

${\begin{aligned}p=&1-0{,}000022091\\=&0{,}999977909.\end{aligned}}$

Il y a donc presque certitude que l’erreur moyenne $s'$ est comprise entre les limites $\pm 6s'.$ Plus exactement la probabilité contraire à $p$ étant

$p'={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{t}^{\infty }dt.e^{-t^{2}},$

on a

$p'=0{,}000022091,$

ou sensiblement $p'={\frac {1}{50000}}\,;$ il y a donc à très-peu près cinquante mille à parier contre un que l’erreur de l’arc $\mathrm {B}$ n’atteint pas les limites dont il s’agit.