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§ IV.

Évaluation de l’erreur moyenne dont se trouve affectée la mesure d’un arc de parallèle, comme dans le cas de la détermination d’un arc de méridien.

10. Nous considérerons maintenant le réseau trigonométrique ${\rm {ABCD\ldots M}}$ comme étant destiné à faire connaître le grandeur $\mathrm {B}$ d’un arc $\mathrm {BM}$ de parallèle, et nous désignerons toujours par $\mathrm {Z\,Z_{1}Z_{2}\ldots Z} _{n}$ les inclinaisons des côtés consécutifs $a\,a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ sur les méridiens des sommets $\mathrm {BCA} \ldots \mathrm {L} \,;$ ces inclinaisons étant comptées, si l’on veut, du nord à l’est, ou mieux, comme de coutume, du sud à l’ouest et depuis zéro jusqu’à $2\pi .$ D’une manière ou d’une autre les portions $\mathrm {J\,J_{1}J_{2}\ldots J} _{n}$ de l’arc mesuré, comprises entre les méridiens des points $\mathrm {BCA} \ldots \mathrm {L}$ auront à fort peu près pour expression

$\mathrm {J} =a\sin .\mathrm {Z} ,\qquad \mathrm {J} _{1}=a_{1}\sin .\mathrm {Z} _{1},$ etc.

et par suite on aura

${\frac {d\mathrm {J} _{1}}{\mathrm {J} _{1}}}={\frac {da_{1}}{a_{1}}}+d\mathrm {Z} _{1}\cot .\mathrm {Z} _{1},$

ou généralement

${\frac {d\mathrm {J} _{n}}{\mathrm {J} _{n}}}={\frac {da_{n}}{a_{n}}}+d\mathrm {Z} _{n}\cot .\mathrm {Z} _{n}.$

D’un autre côté l’on sait que

${\begin{alignedat}{3}d\mathrm {Z} _{1}&=x+y\,;\qquad &d\mathrm {Z} _{2}&=x+y\,;\qquad &d\mathrm {Z} _{3}&=x+y\,;{\text{ etc}}.\\&&&-x_{1}-y_{1}&&-x_{1}-y_{1}\\&&&&&+x_{1}+y_{1}\end{alignedat}}$