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${\begin{aligned}\mathrm {Z_{1}-Z\ \ +C} \ \ -x\ \ -y\ \ =&\pi \\\mathrm {Z_{1}-Z_{2}+C_{1}} -x_{1}-y_{1}=&\pi \\\mathrm {Z_{3}-Z_{2}+C_{2}} -x_{2}-y_{2}=&\pi \\\mathrm {Z_{3}-Z_{4}+C_{3}} -x_{3}-y_{3}=&\pi \end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’où l’on tire

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {Z} _{1}=\pi +\mathrm {Z} &-\mathrm {C} +x+y,\qquad &\mathrm {Z} _{2}=\mathrm {Z} &-\mathrm {C} +x+y\\&&&+\mathrm {C} _{1}-x_{1}-y_{1}\\\mathrm {Z} _{3}=\pi -\mathrm {Z} &-\mathrm {C} +x+y,\qquad &\mathrm {Z} _{4}=\mathrm {Z} &-\mathrm {C} +x+y\\&+\mathrm {C} _{1}-x_{1}-y_{1}&&+\mathrm {C} _{1}-x_{1}-y_{1}\\&-\mathrm {C} _{2}-x_{2}-y_{2}&&-\mathrm {C} _{2}+x_{2}+y_{2}\\&&&+\mathrm {C} _{3}-x_{3}-y_{3}\\{\text{etc}}.\qquad \end{alignedat}}$

et par conséquent

${\begin{alignedat}{3}d\mathrm {Z} _{1}&=x+y\,;\qquad &d\mathrm {Z} _{2}&=x+y\,;\qquad &d\mathrm {Z} _{3}&=x+y\,;{\text{ etc}}.\\&&&-x_{1}-y_{1},&&-x_{1}-y_{1}\\&&&&&+x_{2}+y_{2}\end{alignedat}}$

ou en général

(8)

${\begin{aligned}d\mathrm {Z} _{n}&=x-x_{1}+x_{2}-x_{3}+\ldots \mp x_{n-1}\\&\ +y-y_{1}+y_{2}\ -y_{3}+\ldots \mp y_{n-1},\end{aligned}}$

le signe supérieur ayant lieu si $n$ est pair, et le signe inférieur si $n$ est impair.

Introduisant ces valeurs dans celle de $d\mathrm {M}$ et développant, on trouvera définitivement une expression de cette forme :

$d\mathrm {M} =\mathrm {P} x+\mathrm {Q} y+\mathrm {P} _{1}x_{1}+\mathrm {Q} _{1}y_{1}+\ldots +\mathrm {P} _{n-1}x_{n-1}+\mathrm {Q} _{n-1}y_{n-1}$

dans laquelle