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Concluons delà que l’erreur moyenne cherchée a réellement pour valeur

(5)

$\lambda ={\frac {1}{3}}{\sqrt {\left(l^{2}+m^{2}-lm\right)\mathrm {T} ^{2}+\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}-l_{1}m_{1}\right)\mathrm {T} _{1}^{2}+\ldots }},$

ou enfin

(5')

$\lambda ={\frac {1}{3}}\theta {\sqrt {\frac {\left(l^{2}+m^{2}-lm\right)\mathrm {T} ^{2}+\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}-l_{1}m_{1}\right)\mathrm {T} _{1}^{2}+\ldots }{n}}},$

en prenant au lieu de $\mathrm {T^{2},T_{1}^{2},T_{2}^{2},\ldots T} _{n-1}^{2},$ une valeur moyenne

${\frac {\theta ^{2}}{n}}={\frac {\mathrm {T^{2}+T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+\ldots T} _{n-1}^{2}}{n}},$

$n$ étant le nombre des triangles ; ce qui est d’autant plus permis que ce nombre est plus grand.

Il est remarquable que ce dernier résultat est le même que celui que Laplace a obtenu par une analyse très-subtile et par des considérations entièrement fondées sur la doctrine des probabilités ; c’est donc dans l’ouvrage cité de cet illustre géomètre que l’on trouvera une démonstration directe et rigoureuse de la formule actuelle, s’il restait quelques doutes sur l’exactitude de celle que nous venons de donner.

Lorsqu’on fait

$\mathrm {F} =l^{2}+m^{2}-lm+l_{1}^{2}+m_{1}^{2}-l_{1}m_{1}+\ldots$

on a, en réduisant $\theta$ en parties du rayon,

(5")

$\lambda ={\frac {1}{3}}\theta \sin .1''{\sqrt {\frac {\mathrm {F} }{n}}},$

et la probabilité que $\lambda$ est généralement compris entre les limites $\pm {\frac {2}{3}}t\theta \sin .1''{\sqrt {\frac {\mathrm {F} }{n}}},$ est