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$\delta \mathrm {X} ,\delta x$ et $\delta y$ désignant comme ci-dessus des valeurs moyennes.

§ II.

Méthode pour établir de la manière la plus avantageuse la concordance de deux bases mesurées directement aux extrémités d’une chaîne de triangles.

2. Supposons un réseau composé de $n$ triangles $\mathrm {ABC} ,$ $\mathrm {DCA} ,$ $\mathrm {EAD} ,$ $\mathrm {FDE} ,\ldots \mathrm {MKL}$ liant les deux bases extrêmes $a,a_{n}\,;$ appelons $\mathrm {ABC} ,$ $\mathrm {A_{1}B_{1}C_{1}} ,$ $\mathrm {A_{2}B_{2}C_{2}} ,\ldots$ $\mathrm {A} _{n-1}\mathrm {B} _{n-1}\mathrm {C} _{n-1},$ les trois angles de ces triangles, corrigés chacun du tiers de l’excès de leur somme sur deux angles droits, et désignons par $a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}$ les côtés $\mathrm {CA,AD,DE,\ldots LM}$ conclus successivement de la première base $a=\mathrm {BC} \,;$ il s’agit de savoir quelle est l’erreur moyenne dont sera affecté le dernier côté a déduit de cette base, et quelles sont en les limites.

D’abord il est évident que, par la résolution immédiate de ces triangles considérés comme rectilignes, en vertu du théorème connu de M. Legendre, on a

$a_{1}=a\mathrm {\frac {\sin .B}{\sin .A}} ,\qquad a_{2}=a_{1}\mathrm {\frac {\sin .B_{1}}{\sin .A_{1}}} ,$

et généralement

$a_{n}=a_{n-1}\mathrm {\frac {\sin .B_{n-1}}{\sin .A_{n-1}}} .$

Si ensuite on désigne par $xyz,x_{1}y_{1}z_{1},x_{2}y_{2}z_{2},\ldots x_{n-1}y_{n-1}z_{n-1},$ les erreurs commises dans la mesure des angles $\mathrm {ABC} ,$ $\mathrm {A_{1}B_{1}C_{1}} ,$ $\mathrm {A_{2}B_{2}C_{2}} ,$ $\ldots \mathrm {A} _{n-1}\mathrm {B} _{n-1}\mathrm {C} _{n-1},$ et que l’on différencie la dernière expression ci-dessus, on aura

(A)

${\frac {da_{n}}{a_{n}}}={\frac {da_{n-1}}{a_{n-1}}}+d\mathrm {B} _{n-1}\cot .\mathrm {B} _{n-1}-d\mathrm {A} _{n-1}\cot .\mathrm {A} _{n-1},$