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${\begin{aligned}\mathrm {A} _{9}\ \ =&3+{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{10}=&-8\\\mathrm {A} _{11}=&-2-2{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{12}=&11-{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{13}=&7+{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{14}=&-1+{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{15}=&-2.\end{aligned}}$

C’est une suite nécessaire de ce que l’équation $4\mathrm {X} =\mathrm {Y} ^{2}+n\mathrm {Z} ^{2}$ ne doit pas changer de forme en mettant ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x,$ propriété sur laquelle nous reviendrons ci-après.

Connaissant les coefficients $\mathrm {A}$ qui servent à composer la fonction

$\mathrm {Y+Z} {\sqrt {-n}}=2x^{15}+\mathrm {A} _{1}x^{14}+\mathrm {A} _{2}x^{13}+\mathrm {A} _{3}x^{12}+$etc.,

on en déduira les valeurs des polynomes $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z} ,$ savoir :

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&2x^{15}+x^{14}-7x^{13}-11x^{12}+2x^{11}+8x^{10}-3x^{9}-5x^{8}\\&+5x^{7}+3x^{6}-8x^{5}-2x^{4}+11x^{3}+7x^{2}-x-2\\\mathrm {Z} =&x^{14}+x^{13}-x^{12}-2x^{11}+x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{6}-2x^{4}-x^{3}\\&+x^{2}+x.\end{aligned}}$

Exemple II.

Soit $n=37,$ on aura

${\begin{alignedat}{5}\left({\frac {2}{n}}\right)=&-1,\quad &\left({\frac {3}{n}}\right)=&1,\quad &\left({\frac {4}{n}}\right)=&1,\quad &\left({\frac {5}{n}}\right)=&-1,\quad &\left({\frac {6}{n}}\right)=&-1\\\left({\frac {7}{n}}\right)=&1,&\left({\frac {8}{n}}\right)=&-1,&\left({\frac {9}{n}}\right)=&1,&\left({\frac {10}{n}}\right)=&1.\end{alignedat}}$

Delà