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Soit $g$ l’une des racines primitives du nombre premier $n^{n}\,:$ si l’on désigne par $\alpha$ l’un des termes de la suite

$1,g^{2},g^{4},g^{6},\ldots g^{n-3},\qquad$^[1]

et par $\beta$ l’un des termes de la suite

$g,g^{3},g^{5},g^{7},\ldots g^{n-2},$

on sait que ces deux suites de nombres, diminués des multiples de $n$ qu’ils peuvent contenir, donnent par leur réunion la suite des nombres naturels $1,2,3,n-1\,;$ on sait de plus que $r$ étant l’une quelconque des racines imaginaires de l’équation $r^{n}-1=0,$ le produit de tous les facteurs $x-r^{\alpha },$ sera égal à l’un des deux polynomes ${\frac {1}{2}}(\mathrm {Y+Z} {\sqrt {n}}),$ et ${\frac {1}{2}}(\mathrm {Y-Z} {\sqrt {n}}),$ et le produit de tous les facteurs $x-r^{\beta }$ sera égal à l’autre polynome ; d’ailleurs comme le signe de ${\sqrt {n}}$ peut être pris à volonté, on pourra supposer généralement

$(x-r)\left(x-r^{g^{2}}\right)\left(x-r^{g^{4}}\right)\ldots \left(x-r^{g^{n-3}}\right)$

$=x^{m}+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{1}x^{m-1}+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{2}x^{m-2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{3}x^{m-3}+{\text{etc}}.$

Appelons $\mathrm {S} _{1}$ la somme des racines $r^{\alpha },$ $\mathrm {S} _{2}$ la somme de leurs carrés $r^{2\alpha },$ $\mathrm {S} _{3}$ la somme de leurs cubes $r^{3\alpha },$ etc.; ces sommes étant supposées connues, on pourra déterminer les coefficients ${\rm {A_{1},A_{2},A_{3},}}$ etc., au moyen des équations suivantes :

1. La suite des valeurs de $\alpha$ est aussi représentée dans un autre ordre, par celle des carrés $1,4,9,16\ldots m^{2},$ diminués des multiples de $n$ qu’ils peuvent contenir.