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MÉMOIRE

sur

La détermination des fonctions $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ qui satisfont à l’équation ${\rm {4(x^{n}-1)=(x-1)(Y^{2}\pm nZ^{2}),}}$ $\mathrm {n}$ étant un nombre premier $4\mathrm {i} \mp 1.$

Par M. LEGENDRE.

Lu à l’Académie, le 11 octobre 1830.

Dans les articles 511 et 512 de ma Théorie des nombres, troisième édition, j’ai donné des règles fort simples pour calculer les coefficients de la fonction $\mathrm {Y}$ qui satisfait à l’équation ${\rm {4X=Y^{2}\pm nZ^{2},}}$ où l’on désigne par $\mathrm {n}$ le nombre premier $4i\mp 1$ et par $\mathrm {X}$ le quotient de $x^{n}-1$ divisé par $x-1.$ Ces règles sont fondées sur la supposition que les coefficients des différents termes de la fonction $\mathrm {Y}$ sont moindres que ${\frac {1}{2}}n,$ en les prenant avec le signe convenable ; cette propriété a lieu en effet pour toutes les valeurs de $n$ comprises dans le tableau de l’art. 512, et elle se vérifierait également pour quelques-unes des valeurs suivantes, mais elle cesse d’avoir lieu pour des valeurs plus grandes et il arrive au contraire que les coefficients de $x$ dans la fonction $\mathrm {Y} ,$ loin d’être plus