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Supposons que l’ébranlement primitif du fluide a été circonscrit dans une sphère décrite de l’origine des coordonnées comme centre et d’un rayon donné que nous représenterons par $\varepsilon ,$ ou, autrement dit, supposons que les vitesses et les dilatations initiales, et, par conséquent, les fonctions $\operatorname {F} (r,\mu ,\lambda ),$ $\psi (r,\mu ,\lambda ),$ $f(r,\mu ,\lambda ),$ étaient nulles, quels que soient $\mu$ et $\lambda ,$ pour toutes les valeurs de $r$ plus grandes que $\varepsilon .$ Les fonctions $\operatorname {F} (r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})$ et $f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})$ qui entrent dans la formule (19), seront donc aussi nulles, lorsqu’on aura $r_{1}>\varepsilon .$ Or, en mettant $at$ et $r_{1}$ à la place de $\rho$ et $r'$ dans les équations (17), on en déduit

$r_{1}^{2}=r^{2}+2rat\left[\cos .\mu \cos .\theta +\sin .\mu \sin .\theta \cos .(\omega -\lambda )\right]+a^{2}t^{2}\,;$

et si l’on fait

$\cos .\mu \cos .\theta +\sin .\mu \sin .\theta \cos .(\omega -\lambda )=\cos .2m,$

il en résultera

$r_{1}^{2}=(r-at)^{2}+4rat\cos .^{2}m\,;$

ce qui montre qu’on a $r_{1}>\varepsilon ,$ toutes les fois que $at$ est $>r-\varepsilon$ ou $<r+\varepsilon .$ On aura donc

$\operatorname {F} (r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})=0,\qquad f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})=0,$

et par suite $\varphi _{1}=0,$ pour toutes ces valeurs de $at.$ Mais, dans le cas auquel répond la formule (19), on a, à un instant quelconque,

$u={\frac {d\varphi _{1}}{dx}},\qquad v={\frac {d\varphi _{1}}{dy}},\qquad w={\frac {d\varphi _{1}}{dz}},\qquad s={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi _{1}}{dt}}\,;$

(20)

ces trois vitesses et cette dilatation seront donc nulles, lorsque $at$ tombera hors des limites $r\pm \varepsilon \,;$ par conséquent, dans le