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(7) Voici maintenant les conséquences relatives à la propagation du mouvement qui se déduisent des formules précédentes.

Soit $r$ le rayon vecteur du point $\mathrm {M} ,$ $\mu$ l’angle qu’il fait avec l’axe des $x,$ $\lambda$ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des $x$ et $z\,;$ on aura

$x=r\cos .\mu ,\qquad y=r\sin .\mu \sin .\lambda ,\qquad z=r\sin .\mu .\cos .\lambda \,;$

et les fonctions $\operatorname {F} (x,y,z),\psi (x,y,z),f(x,y,z),$ résultant de l’état initial du fluide, se changeront en trois autres fonctions de $r,\mu ,\lambda ,$ qui seront aussi données et que nous représenterons par $\operatorname {F} (r,\mu ,\lambda ),\psi (r,\mu ,\lambda ),f(r,\mu ,\lambda ).$ Soit ensuite

$\left.{\begin{aligned}&r\cos .\mu +\rho \cos .\theta =r'\cos .\mu ',\\&r\sin .\mu .\sin .\lambda +\rho \sin .\theta \sin .\omega =r'\sin .\mu '\sin .\lambda ',\\&r\sin .\mu \cos .\lambda \ +\rho \sin .\theta \cos .\omega =r'\sin .\mu '\cos .\lambda '\,;\end{aligned}}\right\}$

(17)

désignons par $r_{1},\mu _{1},\lambda _{1},$ les valeurs de $r',\mu ',\lambda ',$ qui répondent à $\rho =at\,;$ la formule (14) deviendra

${\begin{aligned}\varphi ={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} &(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})t\sin .\theta d\theta \,d\omega ,\\+&{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\psi (r',\mu ',\lambda ')\rho \sin .\theta d\rho \,d\theta \,d\omega \,;\end{aligned}}$

(18)

et la formule (16) se changera en celle-ci :

${\begin{aligned}\varphi _{1}={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} &(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})t\sin .\theta d\theta \,d\omega ,\\+&{\frac {1}{4\pi }}{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega .\end{aligned}}$

(19)