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on obtient

$\left({\frac {d^{2}\mathrm {V} ''}{d\tau ^{2}}}\right)=-\cot .\mathrm {Z} \left[\operatorname {cosec} .^{2}{\frac {s}{b}}+\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)\operatorname {tang} .\mathrm {Z} .\cot .{\frac {s}{b}}+\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)^{2}\right]\,;$

Puis si l’on substitue dans la série (D) pour $\sin .^{2}\lambda ,\sin .2\sigma '',\sin .2\sigma '$ et $\tau$ leurs valeurs données plus haut, on aura

${\begin{aligned}\tau =&-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]\\-&{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\times \\&\qquad \left[2\left({\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right)+\cot .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}-\cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right]\\+&{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right]\,;\end{aligned}}$

et par conséquent

$\tau ^{2}={\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}.$

Les trois premiers termes de $\mathrm {V} ''$ sont donc connus maintenant. Quant à l’azimut $\mathrm {V} ',$ il se déduira de

$\mathrm {\frac {\sin .V'}{\sin .V''}} ={\frac {\cos .\lambda ''}{\cos .\lambda '}},$

et l’angle $\varphi$ s’obtiendra par le moyen des équations (2) (3) du § II, et de la série (B’).

Occupons-nous de la recherche plus immédiate de l’angle $\varphi ,$ et dans ce but déterminons d’abord l’angle correspondant sur la sphère inscrite, savoir l’angle $\omega =\omega ''-\omega '.$

De la relation

$\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)=\sin .\lambda '\sin .\lambda ''+\cos .\lambda '\cos .\lambda ''\cos .\omega ,$

on tire, en faisant $\tau =0,$