on obtient
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}\mathrm {V} ''}{d\tau ^{2}}}\right)=-\cot .\mathrm {Z} \left[\operatorname {cosec} .^{2}{\frac {s}{b}}+\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)\operatorname {tang} .\mathrm {Z} .\cot .{\frac {s}{b}}+\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a4b04b6232a8acea16836bc5c3c4ebe73ec019)
Puis si l’on substitue dans la série (D) pour
et
leurs valeurs données plus haut, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau =&-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]\\-&{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\times \\&\qquad \left[2\left({\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right)+\cot .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}-\cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right]\\+&{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7ddfb31025a518c4c976e6714141bbc263e806)
et par conséquent
![{\displaystyle \tau ^{2}={\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b3f81f0005324badf97f649d003d7d09816eeb)
Les trois premiers termes de
sont donc connus maintenant. Quant à l’azimut
il se déduira de
![{\displaystyle \mathrm {\frac {\sin .V'}{\sin .V''}} ={\frac {\cos .\lambda ''}{\cos .\lambda '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abeb370dc7a2f7eb4be22ddd9c9a51724b156ea)
et l’angle
s’obtiendra par le moyen des équations (2) (3) du § II, et de la série (B’).
Occupons-nous de la recherche plus immédiate de l’angle
et dans ce but déterminons d’abord l’angle correspondant sur la sphère inscrite, savoir l’angle
De la relation
![{\displaystyle \cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)=\sin .\lambda '\sin .\lambda ''+\cos .\lambda '\cos .\lambda ''\cos .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dac86efb5352fecdb2e6754d1624fbbd488c54)
on tire, en faisant ![{\displaystyle \tau =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd177be81515278446330beb85bd261f0206424b)