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Il s’agit maintenant de passer de cette valeur de $\sigma ''$ à celles de $\lambda '',\omega '',\mathrm {V} '',$ lesquelles seront données par les relations

${\begin{aligned}&\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',\qquad \sin .\lambda ''=\sin .\lambda \cos .\sigma '',\\&\operatorname {tang} .\omega ''={\frac {\operatorname {tang} .\sigma ''}{\cos .\lambda }},\qquad \sin .\mathrm {V} ''={\frac {\cos .\lambda '}{\cos .\lambda ''}}\sin .\mathrm {V} '\,;\end{aligned}}$

et de déduire la différence de longitude $\varphi$ de la série (B’). De cette manière le problème sera complètement résolu.

Au lieu de passer par la latitude réduite $\lambda ''$ pour avoir l’azimut $\mathrm {V} ''$ on peut obtenir cet angle plus directement ainsi qu’il suit.

Après avoir déterminé $\lambda$ et $\sigma '$ au moyen des relations

$\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',\qquad \cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},$

on évaluera $\sigma ''-\sigma '$ par la série (A^iv), et l’on connaîtra de cette manière les quantités dont se compose le second membre de cette formule

$\cot .\mathrm {V} ''={\frac {\operatorname {tang} .\lambda '\sin .(\sigma ''-\sigma ')+\cos .\mathrm {V} '\cos .(\sigma ''-\sigma ')}{\sin .\mathrm {V} '}}.$

Si l’on veut au contraire déterminer $\mathrm {V} ''$ par la série de Maclaurin, on fera dans la formule actuelle, $\sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}+\tau ,$ et l’on aura généralement, à cause de la petitesse de $\tau ,$

$\mathrm {V} ''=\mathrm {Z} +\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {V} ''}{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots \,;$

alors $\mathrm {Z}$ sera la valeur que reçoit $\mathrm {V} ''$ lorsque $\tau =0.$ Effectuant les différentiations indiquées, on obtiendra

${\begin{aligned}\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)&={\frac {\sin .^{2}\mathrm {Z} \left[\cos .\mathrm {V} '\sin .{\frac {s}{b}}-\operatorname {tang} .\lambda '\cos .{\frac {s}{b}}\right]}{\sin .\mathrm {V} '}}=M\\\left({\frac {d^{2}\mathrm {V} ''}{d\tau ^{2}}}\right)&=2\mathrm {M\cot .Z+\sin .Z\cos .Z=N} \,;\end{aligned}}$