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$v=a+{\frac {(b-a)}{e}},$

qui s’applique également à un prisme rectangulaire d’une longueur infinie, et à une bande circulaire comprise entre deux sections transversales de nos conduites.

Appelant $\mathrm {V}$ la somme des produits de chacun des éléments concentriques de cette bande par la température permanente de cet élément, on aura

$\mathrm {V} =\int dz\left[a+\left({\frac {b-a}{e}}\right)z\right]=az+\left({\frac {b-a}{e}}\right){\frac {z^{2}}{2}}+c.$

La constante $c$ est évidemment nulle, puisque cette expression disparaît lorsque $z=0.$

Si l’on complète cette expression en faisant $z=e,$ elle devient

$\left({\frac {a+b}{2}}\right)e=\mathrm {V} ,$

donc la température moyenne permanente de la bande circulaire que nous considérons $={\frac {\mathrm {V} }{e}}={\frac {a+b}{2}},$ c’est-à-dire qu’elle est précisément moyenne proportionnelle arithmétique entre les températures des surfaces intérieure et extérieure du tuyau.

En supposant $b>a,$ et en faisant $b-a=d,$ on trouve encore ${\frac {\mathrm {V} }{e}}=a+{\frac {d}{2}},$ d’où l’on voit que la température moyenne dont il s’agit, est égale à la température de celui des deux fluides qui est le moins échauffé, augmentée de la demie différence de leurs températures.

Au surplus, ces expressions de la température moyenne