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dans les formules (17), n’aura que des valeurs réelles (n^o 5) que l’on pourra supposer positives. L’autre inconnue \alpha_1 est aussi réelle et positive ; et d’après la liaison existante entre ces deux quantités, on a a,

$\alpha _{1}={\frac {a'}{a}}{\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}},$

en prenant ce radical avec le signe $+,$ et faisant

$\delta ={\frac {1}{a}}{\sqrt {\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.$

Si l’on substitue cette valeur de $\alpha _{1},$ dans l’équation (16), il vient

$a'\alpha '\sin .l\alpha '-a{\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}}\cos .l\alpha '=0\,;$

et si l’on se sert de cette équation pour déterminer $\alpha ',$ les sommes $\sum$ des formules (17) s’étendront à toutes les valeurs réelles et positives de cette inconnue qui ne rendront pas $\alpha ,$ imaginaire, ou qui seront moindre que $\delta .$ Or, $l$ étant infini, on verra par un raisonnement semblable à celui du n^o 6, que ces sommes $\sum$ se changeront en des intégrales qui s’étendront depuis $\alpha '=0$ jusqu’à $\alpha '=\delta$ en prenant ${\frac {\pi }{l}}$ pour la différentielle de $\alpha ',$ et mettant préalablement dans $\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V} _{1},$ à la place de $\sin .l\alpha '$ et $\cos .l\alpha ',$ leurs valeurs tirées de l’équation précédente, savoir :

${\begin{aligned}\sin .l\alpha '=&{\frac {a{\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}}}{\sqrt {a^{2}\left(\delta ^{2}-\alpha '^{2}\right)+a'^{2}\alpha '^{2}}}},\\\sin .l\alpha '=&{\frac {a'\alpha '}{\sqrt {a^{2}\left(\delta ^{2}-\alpha '^{2}\right)+a'^{2}\alpha '^{2}}}}.\end{aligned}}$

Nous aurons, de cette manière,