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Mais tous les éléments de ces intégrales étant réels et positifs, cette équation ne pourra pas subsister à moins qu’on n’ait $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0$ dans toute la hauteur du fluide supérieur, et $\mathrm {R} =0$ et $\mathrm {S} =0$ dans toute celle du fluide inférieur ; ce qu’on peut regarder comme impossible ; donc aussi, il est impossible que l’inconnue ait des valeurs en partie réelles et en partie imaginaires, ou dont le carré ne soit pas une quantité réelle^[1].

Il en sera de même à l’égard de $\alpha ',$ en vertu de la liaison qui existe entre cette quantité et $\alpha \,;$ mais comme on a supposé (n^o 3) qu’on ne pendrait pour $\alpha$ et $\alpha ',$ qu’une seule des deux valeurs égales et de signe contraire dont chacune de ces quantités est susceptible, et que l’équation (12) n’a lieu que dans cette hypothèse, il s’en suit qu’elle ne pourrait pas servir à prouver que $\alpha$ et $\alpha '$ n’ont pas de valeurs imaginaires de la

↑ Cette démonstration a été ajoutée depuis la lecture de ce Mémoire. Nous ferons observer, à cette occasion, que dans une question différente de celle-ci, on pourrait craindre que les quantités $\mathrm {P,Q,R,S} ,$ ne fussent de la nature des fonctions de $x$ qui sont nulles dans un intervalle déterminé des valeurs de la variable, savoir, $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ depuis $x=h-k$ jusqu’à $x=h,$ et $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S}$ depuis $x=h$ jusqu’à $x=h+l.$ Alors il ne serait plus suffisamment prouvé que l’inconnue n’eut que des valeurs réelles ; mais si elle en avait d’imaginaires, les termes correspondants n’entreraient pas dans les sommes $\sum ,$ puisque leurs coefficients $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ seraient nuls en même temps que $\mathrm {P,Q,R,S} .$ Cette remarque est nécessaire pour prévenir un objection qu’on pourrait élever contre l’usage de la démonstration précédente, dans tous les problèmes de physique ou de mécanique, où l’on exprime les intégrales par des séries d’exponentielles ou de sinus dont les exposants ou les arcs sont proportionnels au temps et ont des coefficients donnés par une équation transcendante qui est souvent très-compliquée.

[1] Cette démonstration a été ajoutée depuis la lecture de ce Mémoire. Nous ferons observer, à cette occasion, que dans une question différente de celle-ci, on pourrait craindre que les quantités $\mathrm {P,Q,R,S} ,$ ne fussent de la nature des fonctions de $x$ qui sont nulles dans un intervalle déterminé des valeurs de la variable, savoir, $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ depuis $x=h-k$ jusqu’à $x=h,$ et $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S}$ depuis $x=h$ jusqu’à $x=h+l.$ Alors il ne serait plus suffisamment prouvé que l’inconnue n’eut que des valeurs réelles ; mais si elle en avait d’imaginaires, les termes correspondants n’entreraient pas dans les sommes $\sum ,$ puisque leurs coefficients $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ seraient nuls en même temps que $\mathrm {P,Q,R,S} .$ Cette remarque est nécessaire pour prévenir un objection qu’on pourrait élever contre l’usage de la démonstration précédente, dans tous les problèmes de physique ou de mécanique, où l’on exprime les intégrales par des séries d’exponentielles ou de sinus dont les exposants ou les arcs sont proportionnels au temps et ont des coefficients donnés par une équation transcendante qui est souvent très-compliquée.

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