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et $z$ : on aura, en effet,

$\left.{\begin{alignedat}{2}\mathrm {E} \;&={\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}\mathrm {U} f(x,y',z')dx&&+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}\mathrm {V} f'(x,y',z')dx,\\\lambda \mathrm {F} \;&={\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}\mathrm {UF} (x,y',z')dx&&+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}\mathrm {VF} '(x,y',z')dx,\end{alignedat}}\right\}$

(11)

en faisant $t=0$ dans l’équation (10) et dans sa différentielle première.

Maintenant, je substitue les formules (3) à la place de $u$ et $v$ dans cette équation (10). Comme elle doit subsister pour toutes les valeurs de $t,$ il faudra que le coefficient de $\mathrm {A} \cos .\lambda t+\mathrm {B} \sin .\lambda t$ dans son premier membre, soit égal à zéro, toutes les fois que la quantité $\lambda$ ne sera pas la même, abstraction faite du signe, que dans son second membre. Si donc on désigne par $\mathrm {U} '$ et $\mathrm {V} '$ et par $\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V} _{1},$ ce que deviennent $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} ,$ lorsqu’on y met successivement deux valeurs de $\lambda$ dont les carrés sont différents, on aura necessairement

${\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}\mathrm {U'U_{1}} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}\mathrm {V'V_{1}} dx=0\,;$

(12)

ce qu’on pourrait d’ailleurs vérifier en ayant égard aux équations (6) et (7) et aux expressions de $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} .$ Mais cette équation (12) ne subsisterà plus dans le cas de deux valeurs égales de\lambda, abstraction faite du signe ; et, en vertu de l’équation (10), on aura alors

${\begin{aligned}&\mathrm {A} \left(\int _{h-k}^{h}\mathrm {U^{2}} dx+\int _{h}^{h+l}\mathrm {V^{2}} dx\right)=\mathrm {E} ,\\&\mathrm {B} \left(\int _{h-k}^{h}\mathrm {U^{2}} dx+\int _{h}^{h+l}\mathrm {V^{2}} dx\right)=\mathrm {F} \,;\end{aligned}}$