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$\left.{\begin{aligned}u=&a^{2}\sum (\mathrm {A} \cos .\lambda t+\mathrm {B} \sin .\lambda t)\mathrm {U} ,\\v=&a'^{2}\sum (\mathrm {A} \cos .\lambda t+\mathrm {B} \sin .\lambda t)\mathrm {V} ,\end{aligned}}\right\}$

(8)

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {U} =\cos .l\alpha '\cos .\alpha (x+k-h),\qquad \mathrm {V} =\cos .k\alpha \cos .\alpha '(x-l-h)\,;$

et il ne restera plus qu’à déterminer les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ en fonctions de $\lambda ,$ d’après les données initiales du système.

(4) Pour y parvenir, observons qu’on a identiquement

$\left.{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}&-\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\mathrm {U} =-{\frac {\lambda ^{2}}{a^{2}}}\mathrm {U} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}&-\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\mathrm {V} =-{\frac {\lambda ^{2}}{a^{2}}}\mathrm {V} .\end{aligned}}\right\}$

(9)

et, en particulier,

${\begin{aligned}&a^{2}{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=a'^{2}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}},\qquad \mathrm {U=V} ,\quad {\text{pour}}\quad x=h\,;\\&{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=0,\quad {\text{pour}}\quad x=h-k\,;\\&{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=0,\quad {\text{pour}}\quad x=h+l.\end{aligned}}$

Cela posé, multiplions la première équation (3) par $\mathrm {U} dx,$ puis intégrons ses deux membres dans toute la hauteur du fluide supérieur ; nous aurons

${\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx=a^{2}\int _{h-k}^{h}\left[{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)u\right]\mathrm {U} dx.$

En intégrant par partie et ayant égard aux conditions relatives à la première limite $x=h-k,$ on aura

$\int _{h-k}^{h}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\mathrm {U} dx=\left({\frac {du}{dx}}\mathrm {U} \right)-\left(u{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\right)+\int _{h-k}^{h}{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}udx\,;$