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au moyen des équations

$\lambda ^{2}=a^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)=a'^{2}\left(\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).$

(6)

Elles donneront pour chaque valeur de $\lambda ,$ deux valeurs de $\alpha$ ou de $\alpha ',$ égales et de signe contraire ; mais d’après la forme des expressions de $u$ et de $v,$ il suffira d’y employer une seule de ces valeurs, soit pour $\alpha ,$ soit pour $\alpha '.$ Les sommes $\sum$ devront s’étendre à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de $\mathrm {C,D,C',D'} ,\lambda \,;$ toutefois, nous supposerons qu’on a réuni en un seul, les termes de ces sommes qui ne different que par le signe de $\lambda ,$ et, cela étant, nous n’étendrons plus les sommes $\sum$ qu’aux valeurs de à dont les carrés sont différents.

Si l’on substitue les expressions de $u$ et $v$ dans les équations (4) relatives à $x=h$ et qui doivent avoir lieu quel que soit $t,$ on en conclura

${\begin{alignedat}{6}\mathrm {C} &\alpha \sin .k\alpha &&+\mathrm {C} '\alpha '\sin .l\alpha '&&=0,\qquad &&\mathrm {D} \alpha \sin .k\alpha &&+\mathrm {D} '\alpha '\sin .l\alpha '&&=0.\\\mathrm {C} &a'^{2}\cos .k\alpha &&-\mathrm {C} 'a^{2}\cos .l\alpha '&&=0,&&\mathrm {D} a'^{2}\cos .k\alpha &&-\mathrm {D} 'a^{2}\cos .l\alpha '&&=0.\end{alignedat}}$

On tire de là

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {C} \;=&\mathrm {A} a^{2}\cos .l\alpha ',\qquad &\mathrm {D} \;=&\mathrm {B} a^{2}\cos .l\alpha ',\\\mathrm {C} '=&\mathrm {A} a'^{2}\cos .k\alpha ,&\mathrm {D} '=&\mathrm {B} a'^{2}\cos .k\alpha .\end{alignedat}}$

et, en outre,

$a^{2}\alpha \cos .l\alpha '\sin .k\alpha +a'^{2}\alpha '\sin .l\alpha \cos .k\alpha =0\,;$

(7)

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes qui ne sont pas encore déterminées. Cette équation (7), jointe aux équations (6), servira à déterminer $\lambda ,\alpha ,\alpha '.$ Au moyen des valeurs de $\mathrm {C,D,C',D'} ,$ celles de $u$ et $v$ deviendront