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férence avait une grandeur sensible ; ce qui serait contraire à la supposition que les vitesses sont très-petites dans toute l’étendue des deux fluides. Les forces élastiques relatives à leurs points de contact, étant égales dans l’équilibre et pendant le mouvement, les dilatations $s$ et $s'$ le seront aussi^[1], et l’on aura

${\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {d\varphi '}{dt}},$

pour $x=h$ et pour toutes les valeurs de $t.$

Je supposerai les deux fluides terminés horizontalement par des plans fixes, et je désignerai par $k$ l’épaisseur du fluide supérieur et par $l$ celle du fluide inférieur. Pour tous les points adjacents à ces deux plans fixes, la vitesse verticale sera constamment nulle ; on aura donc

${\frac {d\varphi }{dx}}=0,\qquad {\frac {d\varphi '}{dx}}=0\,;$

la première équation ayant lieu pour $x=h-k,$ la seconde pour $x=h+l,$ et toutes deux pour toutes les valeurs de $t.$

Telles sont les équations différentielles du problème dont il s’agira de déduire les expressions de $\varphi$ et $\varphi '$ en fonctions de $x,y,z,t,$ en y joignant les données relatives à l’état initial du système. Or, nous supposerons qu’on a

${\begin{alignedat}{2}\varphi =&f(x,y,z),&\varphi '=&f'(x,y,z),\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\operatorname {F} (x,y,z),\qquad &{\frac {d\varphi '}{dt}}=&\operatorname {F} '(x,y,z),\end{alignedat}}$

1. Si l’on avait égard à ce que la force élastique ne croît pas exactement dans le même rapport que la densité pendant le mouvement, il faudrait employer dans l’équation suivante, des constantes $b$ et $b'$ différentes de $a$ et $a'$ qui entrent dans les équations (1).