ramener leur intégration à celle d’une équation du sixième ordre, qui ne renfermera plus qu’une seule variable principale. Or, cette dernière pourra être facilement intégrée à l’aide des méthodes générales que j’ai données dans le 19e cahier du journal de l’École Polytechnique, et dans le mémoire sur l’application du calcul des résidus aux questions de physique mathématique. En appliquant ces méthodes au cas où l’élasticité du système reste la même en tous sens, et réduisant la valeur de la variable principale à la forme la plus simple, à l’aide d’un théorème établi depuis long-temps par M. Poisson, on obtient précisément les intégrales qu’a données ce géomètre dans les Mémoires de l’Académie. Mais dans le cas général, la variable principale étant représentée par une intégrale définie sextuple, il fallait, pour découvrir les lois des phénomènes, réduire cette intégrale sextuple à une intégrale d’un ordre moins élevé. Cette réduction m’a long-temps arrêté : mais je suis enfin parvenu à l’effectuer, pour l’équation aux différences partielles ci-dessus mentionnée, et même généralement pour toutes les équations aux différences partielles dans lesquelles les diverses dérivées de la variable principale, prises par rapport aux variables indépendantes sont des dérivées de même ordre. Alors j’ai obtenu, pour représenter la variable principale, une intégrale définie quadruple, et j’ai pu rechercher les lois des phénomènes dont la connaissance devait résulter de l’intégration des équations proposées. Cette recherche a été l’objet du dernier mémoire que j’ai eu l’honneur d’offrir à l’Académie, et qui renferme entre autres la proposition suivante.
Étant donnée une équation aux différences partielles dans
