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fonction transcendante $\varphi (r),$ parce qu’il y a, comme je l’ai remarqué autrefois, plusieurs cas où le produit des facteurs simples ne forme pas le premier membre de la proposée.

Il résulte donc de l’analyse précédente que la fonction $\varphi (r)$ est le produit de tous les facteurs du premier degré

$\left(1-{\frac {r}{\alpha }}\right),\quad \left(1-{\frac {r}{\beta }}\right),\quad \left(1-{\frac {r}{\gamma }}\right),\quad \left(1-{\frac {r}{\delta }}\right),$ etc.

qui correspondent aux racines. Cela posé, il est manifeste qu’aucune valeur différente des grandeurs réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc ne pourrait faire évanouir cette fonction $\varphi (r).$ En effet un facteur tel que $1-{\frac {r}{\alpha }}$ ne peut devenir nul que si l’on fait $r=\alpha \,:$ donc si l’on donnait à $x$ une valeur quelconque réelle ou imaginaire qui ne serait ni $\alpha ,$ ni $\beta ,$ ni $\gamma ,$ etc., aucun des facteurs ne serait nul ; donc le produit aurait une certaine valeur non nulle. Donc si l’on met pour $r$ dans $\varphi (r)$ une valeur quelconque, soit qu’on la suppose ou réelle ou imaginaire, et si elle n’est point une des racines que nous avons désignées par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc., la fonction $\varphi (r)$ ne devient point nulle : donc l’équation transcendante $\varphi r=0$ a ces racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc., et n’a aucune autre racine ou réelle ou imaginaire.

Il est remarquable que l’on parvienne ainsi à démontrer que toutes les racines de l’équation transcendante $\varphi (r)=0$ sont réelles, sans qu’il soit nécessaire de regarder comme connue la forme des expressions imaginaires, que l’on sait être celle du binôme $\mu +\nu {\sqrt {-1}}.$

Au reste, en considérant a priori que si les équations déterminées propres à la théorie de la chaleur avaient des racines imaginaires, leur forme ne pourrait étre que celle du binôme $\mu +\nu {\sqrt {-1}},$ on voit qu’il est pour ainsi dire superflu