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racines cherchées $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc. Or l’équation $f(r,n)=0$ étant algébrique, a toutes les propriétés élémentaires dont jouissent les équations algébriques et qui sont démontrées depuis long-temps : par conséquent les théorèmes de Viète et d’Harriot sur la composition des équations s’appliquent à celle-ci.

Ainsi la fonction $f(r,n)$ n’est autre chose que le produit des $n$ facteurs du premier degré, qui répondent aux $n$ valeurs réelles $a,b,c,d,$ etc. données par l’équation $f(r,n)=0.$ Nous écrirons donc l’équation générale

(E)

$f(r,n)=\left(1-{\frac {r}{a}}\right)\left(1-{\frac {r}{b}}\right)\left(1-{\frac {r}{c}}\right)\left(1-{\frac {r}{d}}\right)\ldots$

Il ne reste plus qu’à passer de cette équation au cas particulier où le nombre $n$ est supposé infini.

Pour connaître la propriété qui, dans ce cas, est exprimée par l’équation (E), il suffit de porter les quantités qui entrent dans cette équation aux limites vers lesquelles elles convergent. Or la fonction $f(r,n)$ a pour limite la fonction transcendante $\varphi (r)\,;$ les limites des valeurs $a,b,c,d,$ etc. sont les nombres que nous avons désignés par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc. On a donc cette relation

$\varphi (r,n)=\left(1-{\frac {r}{\alpha }}\right)\left(1-{\frac {r}{\beta }}\right)\left(1-{\frac {r}{\gamma }}\right)\left(1-{\frac {r}{\delta }}\right)\ldots$ à l’infini

On connaît par ce résultat que la fonction transcendante $\varphi (r)$ est formée du produit d’un nombre infini de facteurs du premier degré correspondants aux racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc., dont chacune fait évanouir la fonction $\varphi (r).$ On regarde comme utile de démontrer spécialement cette proposition pour la