leur réelle de dans une fonction dérivée, on voit que la même substitution donne, pour la fonction dérivée précédente et pour celle qui suit, deux résultats dont le signe ne peut pas être le même. En effet la valeur de qui, substituée dans le second terme, rend ce terme nul, n’est pas un nombre négatif : car la fonction qui exprime ne peut pas devenir nulle lorsqu’on donne à une valeur négative, puisque tous les termes recevraient ce même signe. Il en est de même de et de toutes les fonctions dérivées de aucune de ces fonctions ne peut être rendue nulle par la substitution d’une valeur négative de car tous les termes prendraient le même signe. Donc les valeurs réelles de qui auraient la propriété de faire évanouir une des fonctions dérivées, ne peuvent être que positives. Donc en substituant pour ê, dans une des équations (e), une valeur réelle de qui ferait évanouir le second terme, il arrivera toujours que le premier et le dernier terme n’auront pas un même signe, car leur somme ne serait pas nulle. On ne peut pas supposer que la mème valeur de qui fait évanouir le second terme, rend aussi nuls le premier et le troisième terme d’une des équations (e); car si cela avait lieu, on conclurait de ces équations que la même valeur de fait évanouir les fonctions dérivées de tous les ordres, sans aucune exception Ce cas singulier serait celui où l’équation proposée aurait toutes ses racines égales.
Il résulte évidemment de la condition récurrente qui vient d’être démontrée, que l’équation a toutes ses racines réelles. En effet cette équation est algébrique, et il n’existe aucune valeur de propre à faire évanouir une fonc-
