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Faisant $nx=r,$ on trouve la fonction transcendante $\varphi (r)$ qui est l’objet de la question.

Nous allons maintenant démontrer que l’équation algébrique $\operatorname {F} (x,n)=0,$ dont $x$ est l’inconnue, n’a que des racines réelles ; et nous prouverons qu’il s’en suit nécessairement que l’équation trancendante $\varphi (r)=0,$ dont $r$ est l’inconnue, a aussi toutes ses racines réelles.

Pour reconnaître la nature des racines de l’équation algébrique $\operatorname {F} (x,n)=0,$ nous appliquerons les théorèmes que l’on vient de rappeler.

La fonction $\operatorname {F} (x,n)$ étant désignée par $y,$ on trouve que $y$ satisfait à l’équation différentielle $x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(1-x){\frac {dy}{dx}}+ny=0,$ ce dont on peut s’assurer par la différentiation. On conclud de cette dernière équation les suivantes,

(e)

${\begin{aligned}&x{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+(2-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+n{\frac {dy}{dx}}=0\\&x{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}+(3-x){\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+n{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0\\&x{\frac {d^{5}y}{dx^{5}}}+(4-x){\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}+n{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=0\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&x{\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}+(i-1-x){\frac {d^{i-1}y}{dx^{i-1}}}+n{\frac {d^{i-2}y}{dx^{i-2}}}=0.\end{aligned}}$

Cette relation récurrente se reproduit autant de fois que la fonction y peut être différentiée sans devenir nulle, en sorte qu’il y a un nombre $n$ de ces équations (e). Si actuellement on suppose, dans chacune des équations (e), que le second terme est rendu nul par la substitution d’une certaine va-