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terminer la forme de la ligne dont l’équation est $y=\varphi r\,;$ et j’ai indiqué une propriété principale, que j’ai rappelée dans la Théorie analytique de la chaleur, page 38o. Le mémoire de 1807, qui demeure déposé dans les archives de l’Institut, contient d’autres détails, art. 127, page 180 ; on en conclud évidemment que la courbe dont il s’agit coupe une infinité de fois son axe, et forme des aires qui se détruisent alternativement.

L’examen attentif de l’intégrale définie ne laisse aucun doute sur la multiplicité et les limites des racines réelles. On voit clairement que l’équation transcendante $\varphi r=0$ a une infinité de ces racines réelles : nous les désignons par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,$ etc. Mais, pour compléter la discussion, il restait à examiner si cette équation or $\varphi r=0$ est en effet du nombre de celles qui ne peuvent avoir que des racines réelles.

Au lieu d’appliquer immédiatement à cette équation transcendante les théorèmes que nous avons rappelés ci-dessus, nous examinons d’abord la nature de la fonction algébrique suivante :

${\begin{aligned}\operatorname {F} (x,n)=1-{\frac {nx}{1}}&+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {x^{3}}{2.3}}\\&+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {n-3}{4}}.{\frac {x^{4}}{2.3.4}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Cette fonction est à deux variables $x$ et $n\,;$ $n$ est un nombre entier. Le nombre des termes est $n+1,$ et si l’on suppose $n$ infini, la fonction transcendante qui en résulte ne contient que le produit $nx,$ et devient

$1-nx+{\frac {n^{2}}{2}}.{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {n^{3}}{2.3}}.{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {n^{4}}{2.3.4}}.{\frac {x^{4}}{2.3.4}}-{\text{etc}}.$