l’on est assuré que toute valeur réelle de qui rend nulle une des fonctions intermédiaires, donne deux résultats de signes contraires lorsqu’on la substitue dans les deux fonctions précédente et suivante, il est certain que l’équation algébrique proposée a toutes ses racines réelles : c’est la proposition donnée par de Gua ; on voit qu’elle est un corollaire évident du théorème général que j’ai énoncé plus haut.
Dans tous les cas possibles, une équation algébrique nécessairement autant de racines imaginaires que la suite de signes perd de variations, lorsque le nombre substitué passe par de certaines valeurs réelles de qui font disparaître des variations de signes sans que la dernière fonction s’évanouisse. Ainsi lorsqu’il n’y a point de telles valeurs de il n’y a point de racines imaginaires.
Il suffit donc, pour être assuré qu’une équation algébrique a toutes ses racines réelles, de reconnaître qu’il n’existe aucune de ces valeurs réelles de qui, sans rendre nulle la dernière fonction fassent disparaître deux variations à la fois.
Nous considérons maintenant la fonction transcendante etc., afin de prouver que l’équation a toutes ses racines réelles. Cette équation est celle qui se rapporte au mouvement de la chaleur dans un cylindre solide.
Je me suis d’abord proposé de connaître la forme de la ligne courbe dont l’équation est désignant l’ordonnée dont est l’abcisse. Cette ligne a des propriétés fort remarquables, que l’on déduit d’une expression de en intégrale définie. Dans mon premier mémoire sur la Théorie de la chaleur (1807), j’ai employé cette intégrale pour dé-
