Cette considération nous fait mieux connaître la nature des racines imaginaires. En effet elle montre que les racines manquent dans de certains intervalles, savoir ceux où il arrive que le nombre substitué ×, passant d’une valeur de à une autre infiniment voisine, rend nulle une fonction intermédiaire sans rendre nulle la fonction et fait ainsi disparaître deux variations de signes, en donnant deux résultats de même signe à la fonction qui précède et à celle qui suit. Cette conclusion a toujours été regardée comme évidente dans le cas très-simple où la courbe de forme parabolique, et dont l’équation est s’approche de l’axe des et après avoir atteint une valeur minimum sans rencontrer l’axe, s’en éloigne et poursuit son cours. Mais ce n’est là qu’un cas particulier des racines imaginaires : ce minimum peut avoir lieu pour une des fonctions dérivées d’un ordre quelconque, et alors il détermine toujours un couple de racines imaginaires. À proprement parler, les racines imaginaires sont des racines déficientes, qui manquent dans certains intervalles ; et l’on reconnaît que c’est à un de ces intervalles que correspond en effet un couple de racines imaginaires, parce qu’il suffit de prouver que ces deux racines n’existent point dans l’intervalle dont il s’agit, pour conclure avec certitude que l’équation proposée a deux racines imaginaires.
Quoique dans l’énoncé de ces propositions nous ne considérions ici que les fonctions algébriques, il est assez évident que ces racines déficientes, que l’on a appelées imaginaires ont le mème caractère dans les équations non algébriques formées d’un nombre fini ou infini de facteurs du premier degré réels ou imaginaires. Ce minimum absolu est le signe propre du manque de deux racines ; mais nous écartons ici
