1o Les valeurs accidentelles de qui font évanouir une des fonctions, peuvent n’apporter aucun changement dans le nombre total des variations ; ces valeurs substituées sont indifférentes.
2o La substitution qui fait évanouir une des fonctions peut diminuer d’une seule unité le nombre des variations ; alors la valeur substituée est une racine réelle.
3o La substitution qui rend nulle une fonction intermédiaire fait disparaître deux variations de signes, sans rendre nulle la fonction alors on est assuré que deux des racines de l’équation sont imaginaires. Ce sont les deux cas élémentaires pour lesquels le nombre des changements de signes diminue. Il ne peut jamais augmenter ; il est conservé, ou il est diminué d’une unité pour chaque racine réelle, ou il est diminué de deux unités pour chaque couple de racines imaginaires. Il n’y a point d’autres cas possibles ; ils peuvent se réunir accidentellement, et alors ils donnent lieu à autant de conclusions séparés.
Il est fort important de remarquer ces valeurs critiques de qui ont la propriété de faire disparaître à la fois deux variations de signe. Cette disparition a lieu parce que la valeur de qui rend nulle la fonction dérivée intermédiaire donne deux résultats de même signe, lorsqu’on la substitue dans les deux fonctions dont l’une précède et l’autre suit la fonction intermédiaire qui s’évanouit : c’est cette condition qui est le caractère propre des racines imaginaires. Autant de fois que ce caractère se reproduit, autant la proposée a de couples de racines imaginaires ; réciproquement, il ne peut y avoir de couples de racines imaginaires que dans le cas où cette condition subsiste.
