corollaires la remarque de Hudde sur les racines égales, la règle de Descartes concernant le nombre des racines positives ou négatives, et la proposition de de Gua relative aux équations dont toutes les racines sont réelles.
La démonstration de ce théorème général, publiée dans les Mémoires cités de la Société Philomatique, ne diffère point de celle que j’ai donnée autrefois dans les cours de l’école Polytechnique de France. Je suppose ici que le lecteur a sous les yeux cette démonstration, et je me borne à rappeler les conséquences principales.
Le nombre substitué passant par degrés insensibles de sa valeur initiale à la dernière il ne peut survenir de changements dans la suite des signes des résultats que lorsque atteint et dépasse infiniment peu une valeur de qui rend nulle une des fonctions Or, après que a dépassé cette valeur de il peut arriver que le nombre des variations de signes de la suite n’ait point changé : ainsi on trouverait le même nombre de variations en les comptant avant et après. Il peut arriver aussi deux autres cas : le premier, lorsque la fonction qui s’évanouit est la dernière ; alors la valeur substituée est une des racines réelles, et le nombre des variations de signes ne demeure pas le même ; il est diminué d’une unité. Dans l’autre cas, la fonction qui s’évanouit n’est pas : elle est une des fonctions dérivées intermédiaires, et il arrive que le nombre des variations de signes n’est pas le même qu’auparavant ; il est diminué de deux unités, et l’on conclud avec certitude que deux des racines de l’équation proposée sont imaginaires.
Ainsi
