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$\mathrm {X} ^{(n)},\mathrm {X} ^{(n-1)},\mathrm {X} ^{(n-2)},\ldots \mathrm {X''',X'',X',X} .$

En substituant dans cette suite de fonctions un certain nombre $wa,$ et marquant les signes des résultats, on obtient une suite de signes, qui serait ou pourrait être très-différente si le nombre substitué $wa$ venait à changer. On suppose maintenant que la valeur substituée $wa$ augmente par degrés insensibles, depuis $wa=-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $wa={\frac {1}{0}},$ et l’on considère les changements qui surviennent dans le nombre des variations de signes que présente la suite des résultats. Cela posé, nous disons que les racines réelles ou imaginaires de la proposée $\mathrm {X} =0$ correspondent aux nombres des variations de signes que la suite des résultats perd, à mesure que le nombre substitué augmente. Voici en quoi consiste cette relation. Les variations de signes que peut perdre la suite des résultats, lorsque le nombre substitué passe par une valeur déterminée, sont de deux sortes.

1^o Il peut arriver, lorsque quelques-unes de ces variations disparaissent, que la dernière fonction $\mathrm {X}$ devienne nulle.

2^o Il peut arriver que des variations de signes disparaissent, sans que la dernière fonction $\mathrm {X}$ devienne nulle. Le premier cas répond aux racines réelles, et le second aux racines imaginaires.

J’ai reconnu que la proposée a précisément autant de racines réelles, égales ou inégales, que la suite perd de variations de signes de la première espèce ; et qu’elle a précisément autant de racines imaginaires que la suite des résultats perd de variations de signes de la seconde espèce. Ce théorème, que l’on doit regarder comme fondamental, renferme comme