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que que celles de ces racines qui ne rendent point nul le facteur $e^{x}.$ Or il n’y en a qu’une seule, savoir la racine réelle du facteur $1-2^{n+1}.e^{x}=0.$ Cette racine, qui rend $e^{x}$ égale à ${\frac {1}{2^{n+1}}},$ donne certainement deux résultats de signes opposés : mais l’application du théorème ne consiste pas à substituer dans les deux fonctions intermédiaires une seule des racines réelles de l’équation $e^{x}-2^{n+1}.e^{2x}=0\,;$ elle exige que l’on emploie toutes ces racines, et il est nécessaire qu’il n’y ait aucune de ces racines réelles qui, étant substituée dans les deux fonctions intermédiaires, donne deux résultats de signes opposés. C’est ce qui n’arrive point ici ; car il y a, au contraire, une infinité de valeurs réelles de $x,$ dont chacune, étant mise pour $x$ dans les deux fonctions intermédiaires, donne le même résultat, savoir zéro.

Pour appliquer à une équation $\mathrm {X} =0$ la proposition dont il s’agit, il faut reconnaître avec certitude qu’il n’y a dans le système entier des fonctions dérivées aucune fonction intermédiaire que l’on puisse rendre nulle, en mettant pour a une valeur réelle quelconque, qui, substituée dans la fonction précédente et dans la suivante, donne deux résultats de même signe. S’il y a une seule de ces valeurs réelles de $x$ qui rendant nulle une quelconque des fonctions intermédiaires donne deux résultats de même signe pour la fonction précédente et la fonction suivante, ou si l’on ne peut reconnaître avec certitude que les signes des deux résultats sont différents, on ne doit point conclure que toutes les racines de $\mathrm {X} =0$ sont réelles.

Donc on n’est point fondé à objecter qu’il résulterait du théorème algébrique que l’équation $e^{x}-e^{2x}=0$ a toutes ses racines réelles.